ばねを引っ張ると元の長さへ戻ろうとし、ゴムを伸ばすと縮もうとします。定規を曲げて手を離すと元の形へ戻り、ボールを押すと押し返す力を感じます。こうした「変形を元に戻そうとする力」が弾性力です。
では、なぜ物体を変形させると弾性力が生じるのでしょうか。大まかにいえば、物体をつくる原子や分子には安定しやすい間隔や配置があり、外力でそこからずらされると、元の安定な状態へ戻す向きの力が生じるからです。
微小な変形では、この復元力は変形量にほぼ比例します。これが有名なフックの法則です。ただし、すべての物体がどこまでも元へ戻るわけではありません。大きく変形させると永久変形や破壊が起こり、フックの法則からも外れます。
弾性力とは何か
弾性とは、外力によって形や大きさが変わった物体が、外力を取り除くと元の形へ戻ろうとする性質です。そのとき変形と反対向きに働く力を、弾性力や復元力と呼びます。
金沢工業大学の物理教材では、ばねを自然長から伸ばしたり縮めたりすると、自然長へ戻る向きに力を受け、この力を弾性力と説明しています。また、変形が十分小さい範囲では、弾性力の大きさは変形量に比例するとしています。
たとえば、ばねを自然長から右へ引き伸ばせば、ばねは左向きに縮もうとします。逆に押し縮めれば、今度は右向きに伸びようとします。つまり弾性力は、常に変形を減らす向きに働きます。
なぜ原子や分子には「元へ戻る向きの力」が生じるのか
固体の内部では、原子や分子が完全にばらばらに存在しているわけではありません。原子間には引力と斥力が働き、ある距離でそれらがつり合う安定な配置があります。
原子同士が離れすぎると、結合による引力が優勢になって近づけようとします。反対に、近づきすぎると電子雲の重なりなどによる強い反発が生じ、押し戻そうとします。その結果、特定の原子間距離の近くにエネルギーが最も低い安定位置ができます。
京都工芸繊維大学の材料強度に関する教材では、原子間の力とポテンシャルエネルギーの関係を示し、平衡位置で力がゼロになり、その位置から離れると元へ戻す向きの力が生じることを説明しています。
物体を引っ張ったり押したりすると、内部の原子間距離や分子構造がこの安定状態から少しずれます。すると原子・分子間の相互作用によって、ずれを小さくする方向の力が生じます。多数の原子や分子の復元作用が物体全体で合わさったものが、私たちが観察する弾性力です。
なぜ小さな変形ではフックの法則が成り立つのか
ばねの弾性力は、変形が小さい範囲では次の式で表されます。
F = -kx
ここでFは弾性力、xは自然長や平衡位置からの変位、kはばね定数です。マイナス符号は、力の向きが変位と反対であることを表します。
OpenStaxの物理教材でも、小さな変形では復元力が変形量に比例し、これをフックの法則として説明しています。
この比例関係は、原子間ポテンシャルの形からも理解できます。安定な平衡位置のごく近くでは、ポテンシャルエネルギーの曲線をなめらかな放物線に近似できます。放物線型のポテンシャルでは、位置を少しずらしたときの力は変位に比例します。
つまり、フックの法則は「ばねだけの特殊な法則」ではなく、多くの材料が平衡位置の近くで小さく変形したときに現れる近似的な性質なのです。
ばね定数kは何を表しているのか
フックの法則に現れるばね定数kは、ばねや構造物の「変形しにくさ」を表します。
同じ1 cmだけ伸ばす場合でも、柔らかいばねなら小さな力で伸びますが、硬いばねでは大きな力が必要です。kが大きいほど、同じ変形量に対して大きな復元力が生じます。
ただし、ばね定数は材料そのものだけで決まる値ではありません。同じ材料でも、線の太さ、長さ、コイルの直径、巻き数などが変わればkも変わります。
一方、材料そのものの弾性的な硬さを比べるときには、ヤング率、せん断弾性率、体積弾性率などの「弾性率」が使われます。
材料の硬さはヤング率でどう表すのか
棒を引っ張るような変形では、外力そのものではなく「応力」と「ひずみ」を使うと、材料の性質を比べやすくなります。
- 応力：単位面積あたりに加わる力
- ひずみ：元の長さに対してどれだけ伸びたかという割合
筑波大学の物理教材では、ひずみが十分小さいとき、応力とひずみは比例し、その比例定数を弾性率と呼ぶと説明しています。引張・圧縮の場合、この弾性率がヤング率です。
応力 = ヤング率 × ひずみ
ヤング率が大きい材料ほど、同じひずみを生じさせるために大きな応力が必要です。つまり、伸び縮みに対して「硬い」材料といえます。
金属の弾性力はどのように生じるのか
金属では、多数の原子が結晶格子をつくっています。外力を加えると、原子間距離や結晶格子の形がわずかに変化します。
変形が小さければ、原子は結合を保ったまま平衡位置から少しずれるだけなので、外力を取り除くと原子間力によって元の配置へ戻ります。OpenStaxは、金属の弾性は結晶格子のセルが外力によって変形し、荷重がなくなると元へ戻ることに関係すると説明しています。
ところが外力が大きくなると、原子の並びが元に戻れない形でずれたり、転位と呼ばれる格子欠陥が移動したりします。この段階になると、力を除いても変形が残る「塑性変形」が起こります。
ゴムの弾性は金属と同じ仕組みなのか
ゴムも元へ戻る性質を持ちますが、金属とは微視的な仕組みがかなり異なります。
ゴムのような高分子材料は、長い分子鎖が絡み合った構造を持っています。自然な状態では分子鎖は曲がったり丸まったりしていますが、引き伸ばすと鎖が同じ方向へそろうように伸ばされます。
外力を取り除くと、分子鎖は熱運動によってより多くの配置を取れる乱れた状態へ戻ろうとします。OpenStaxも、ポリマーやゴムの弾性は高分子鎖が外力によって伸ばされることと関係すると説明しています。
そのため、金属の弾性を単純に「原子間距離の変化」、ゴムの弾性を「分子鎖の配置変化」と見ると、違いを理解しやすくなります。
弾性力はエネルギーを蓄えている
ばねを伸ばすには仕事が必要です。その仕事は、理想的なばねでは弾性エネルギーとして蓄えられます。
フックの法則に従うばねなら、蓄えられる弾性エネルギーUは次の式で表されます。
U = 1/2 kx2
OpenStaxでは、ばねを伸ばしたり縮めたりするために行った仕事が弾性ポテンシャルエネルギーとして蓄えられ、手を離すと運動エネルギーなどへ変わると説明しています。
弓、トランポリン、ばね式のおもちゃ、機械式時計などは、この弾性エネルギーの蓄積と放出を利用しています。
なぜ変形量が大きいとフックの法則から外れるのか
フックの法則は、変形が十分小さい範囲で成り立つ近似です。
原子間ポテンシャルは、平衡位置のごく近くでは放物線に近似できますが、離れるほど左右対称ではなくなり、力と変位の関係も単純な比例ではなくなります。
OpenStaxの弾性の解説でも、応力とひずみが比例する「線形領域」には限界があり、それを超えると非線形な弾性変形や塑性変形が現れると説明されています。
ばねでも、少し伸ばすだけなら元へ戻りますが、強く引きすぎると巻き方が変わったり、金属そのものが塑性変形したりして元の長さへ戻らなくなります。
弾性限界を超えると何が起こるのか
材料へ加える力を増やしていくと、最初は力を除けば元へ戻る弾性変形が起こります。しかし、ある範囲を超えると永久変形が残るようになります。
これが塑性変形です。さらに大きな力を加えると、亀裂が成長して破壊に至ることもあります。
そのため工学では、材料が壊れないことだけでなく、使用中に弾性範囲を超えないように設計することが重要です。橋、建物、自動車、機械部品などは、通常の使用荷重で永久変形が生じないよう、安全率を考慮して設計されます。
弾性力と垂直抗力はどう関係しているのか
机の上に物体を置くと、机から上向きの垂直抗力を受けます。この垂直抗力も、微視的には接触面の弾性変形と原子・電子同士の相互作用に深く関係しています。
物体を机に置くと、接触している表面は目に見えないほどわずかに変形します。原子同士が近づきすぎると強い反発が生じ、その反発が物体を押し返します。
したがって、教科書では「机が物体を押し返す力」として扱う垂直抗力も、根本では物質の弾性的な応答と電磁気的な相互作用から生じています。
弾性力は電磁気力と関係しているのか
原子や分子を結びつける力の多くは、電子と原子核の間の電磁気的相互作用に由来します。そのため、日常的な固体の弾性力も、根本をたどれば主に電磁気的な相互作用の結果です。
ただし、材料全体の弾性を説明するときに、単純に「プラスとマイナスの電荷が引き合うから」とだけ考えるのは不十分です。実際には電子状態、量子力学的な排他効果、結晶構造、分子鎖の配置などが組み合わさって材料ごとの弾性特性が決まります。
そのため、巨視的にはフックの法則やヤング率を使い、微視的には原子・分子間のポテンシャルや材料構造を考えるという、異なる階層の説明を使い分けます。
弾性力が身近な技術で利用される例
弾性力は、元に戻ろうとする性質とエネルギーを蓄えられる性質を利用して、多くの技術に使われています。
- 自動車のサスペンション：ばねで車体を支え、路面からの衝撃を受け止める
- 機械式時計：ばねに蓄えた弾性エネルギーを少しずつ放出する
- ばねばかり：伸びと力の比例関係を利用して力を測る
- トランポリン：変形時にエネルギーを蓄え、元へ戻るときに人を押し上げる
- 弓：曲げた弓に蓄えた弾性エネルギーを矢の運動エネルギーへ変える
- ゴム製品：大きな変形を繰り返し受けながら元の形へ戻る性質を利用する
用途によって、硬い弾性体が必要な場合もあれば、大きく伸びる柔らかい材料が必要な場合もあります。そのため材料設計では、ばね定数やヤング率だけでなく、弾性限界、疲労、温度依存性なども重要になります。
まとめ
弾性力が生じるのは、物体をつくる原子や分子に安定な配置があり、外力でそこからずらされると、元の安定状態へ戻す向きの相互作用が働くからです。
変形が十分小さい範囲では、この復元力は変形量にほぼ比例し、F = -kxというフックの法則で表せます。材料全体では、応力とひずみの関係をヤング率などの弾性率で表します。
ただし、弾性の微視的な仕組みは材料によって異なります。金属では結晶格子の原子間距離や配置の変化、ゴムでは高分子鎖の伸びや配置変化が重要です。また、変形が大きすぎると比例関係は崩れ、塑性変形や破壊が起こります。
弾性力は、原子・分子レベルの相互作用が、私たちの目に見える「ばねが戻る」「ゴムが縮む」「物体を押すと押し返される」といった力として現れたものなのです。
関連記事
参考資料
- 金沢工業大学「フックの法則」
- 京都工芸繊維大学「変形と理論強度」
- OpenStax「Elasticity and Plasticity」
- UNSW Physclips「Young’s modulus, Hooke’s law and material properties」
コメント