空気中では軽く動かせる板や球でも、水中で急に動かそうとすると、急に「重くなった」ように感じることがあります。
しかし、物体そのものの質量が本当に増えたわけではありません。
水中で物体を加速すると、物体の周囲の水も一緒に動き始めます。その水にも運動エネルギーを与えなければならないため、空気中より大きな力が必要になります。
この追加の慣性効果を、あたかも物体に余分な質量が加わったかのように表したものが付加質量です。
付加質量とは何か
物体を真空中で加速するなら、単純化すれば
F = ma
で考えられます。
しかし水中では、物体が加速すると周囲の水にも速度が生じます。
そのため同じ加速度aを与えるには、物体自身の慣性だけでなく、流体を加速するための力も必要です。
その追加の力を
Fadded = maa
のように書き、maを付加質量と呼びます。
したがって、単純な場合には運動方程式を
F = (m + ma)a
のように表せます。
なぜ周囲の水まで動かさなければならないのか
物体が水の中を進むと、その場所にあった水は物体を避けるように移動しなければなりません。
物体が静止状態から急に加速すれば、水も静止状態から動き始めます。
つまり物体だけでなく、周囲の流体にも加速度が生じます。
CambridgeのJournal of Fluid Mechanicsでは、付加質量を「流体中の物体を加速するときに必要となる追加の力」を特徴づける量として説明しています。
Caltechの流体力学資料でも、物体が流体中を動くと流体に運動エネルギーが生じ、その運動エネルギーを増やすための追加仕事が付加質量として表せると説明されています。
物体の質量が増えたわけではない
付加質量という名前から、物体に水がくっついて本当に質量が増えたように想像するかもしれません。
しかし、付加質量は通常、物体そのものの質量変化を意味しません。
水中で物体を加速したとき、周囲の流体を同時に動かすために必要な追加の慣性効果を、質量の形で表したものです。
したがって付加質量は、実体として物体に固定された水の塊とは限りません。
流体全体の速度場と圧力場が変化した結果として現れる力学的な量です。
なぜ「慣性が増えたように」見えるのか
同じ外力Fを物体へ加えたとします。
空気中では近似的に
a ≈ F/m
です。
水中で付加質量maが効けば、
a ≈ F/(m + ma)
となります。
分母が大きくなるため、同じ力でも加速度が小さくなります。
そのため「物体が重くなった」「慣性が増えた」ように感じます。
J-STAGEの実験では水中で振動周期が長くなる
J-STAGEの「水中での振動周期と付加質量の測定」では、水中で物体を振動させると振動周期が大きくなることが報告されています。
ばねにつながれた物体の単振動では、理想化すると周期は
T = 2π√(m/k)
です。
水中で付加質量を考えると、
T = 2π√((m + ma)/k)
のように実効的な慣性が大きくなり、周期が長くなります。
つまり、付加質量は「加速しにくさ」だけでなく、「振動しにくさ」としても測定できます。
同じ形なら物体の数が増えると付加質量も増える
J-STAGEの同研究では、同じ形の水中物体の個数を増やすと、周期増加と付加質量も増えることが報告されています。
これは、水中で動かさなければならない流体領域も増えるためと考えられます。
ただし、複数の物体が近接していると流れ場が互いに影響し合うため、一般には単純な足し算からずれる場合もあります。
付加質量は物体の形で変わる
付加質量は、物体自身の質量だけでは決まりません。
物体の形によって、周囲の水をどのように押しのけ、どの方向へ加速するかが変わるからです。
球、円柱、平板では、同じ体積でも付加質量が異なります。
Cambridgeの流体力学文献でも、付加質量は物体の幾何形状や運動方向に依存する量として扱われています。
同じ物体でも動かす方向で付加質量が変わる
細長い板を考えます。
薄い面を進行方向へ向けて動かす場合と、広い面を進行方向へ向けて動かす場合では、押しのける水の流れ方が大きく違います。
広い面で水を押す方が、多くの流体を大きく動かしやすいため、付加質量も大きくなる傾向があります。
そのため一般の三次元物体では、付加質量を一つの数だけでなく、方向ごとに異なる係数や行列として扱うことがあります。
球の付加質量はどう表されるのか
理想的な非粘性・非圧縮流体中で球を加速する古典的な場合、付加質量は球が押しのける流体質量の半分になります。
球の体積をV、流体密度をρとすると、
ma = (1/2)ρV
です。
この結果は、球が加速するときに生じる圧力分布を積分することで導かれます。
重要なのは、付加質量が球自身の材質ではなく、流体密度ρと物体形状・体積に依存している点です。
なぜ水の方が空気より付加質量が大きいのか
付加質量は、一般に周囲の流体密度に比例します。
水の密度は空気よりはるかに大きいため、同じ物体・同じ形状なら、水中の方が周囲の流体を加速するために大きな力が必要になります。
そのため空気中ではほとんど気にならない付加質量が、水中では重要になることがあります。
「抗力」と「付加質量」は同じものなのか
同じではありません。
抗力は、物体が流体中をある速度で動いているとき、その運動を妨げる力です。
付加質量は、主に物体や流体が加速しているときに現れる慣性効果です。
Cambridgeの文献でも、速度に関係する流体抵抗と、加速度に比例する付加質量効果は分けて扱われています。
実際の水中運動では、抗力・付加質量・浮力などが同時に働く場合があります。
一定速度で動いているときも付加質量力は働くのか
単純な理想流体モデルでは、速度が一定で加速度が0なら、付加質量に対応する力
Fadded = maa
も0です。
ただし実際の流体では、渦、粘性、境界、波、流れの非定常性などがあるため、一定速度でも別の流体力が働きます。
付加質量と抗力を区別して考える必要があります。
なぜ振動する物体で付加質量が特に重要なのか
振動では、物体の加速度の向きが何度も変わります。
そのたびに周囲の流体も加速・減速するため、付加質量の効果が繰り返し現れます。
水中構造物、船舶、海洋機器、センサー、振動子などでは、固有振動数や応答振幅を予測する際に付加質量を考慮する必要があります。
水中では固有振動数が下がることがある
ばね定数kが同じで、実効質量がmからm+maへ増えるなら、固有角振動数は
ωn = √(k/(m + ma))
となります。
実効質量が増えるほどωnは小さくなり、振動周期は長くなります。
これが、水中で振動体の固有振動数が空気中より低くなることがある理由の一つです。
付加質量は流体の密度だけで決まるのか
決まりません。
流体密度は重要ですが、物体の形、動く方向、周囲の境界、自由表面との距離などでも変わります。
たとえば物体が壁や海底のすぐ近くを動くと、流体が逃げる空間が狭くなり、付加質量が大きくなる場合があります。
Cambridgeの研究でも、固体境界の近くでは付加質量が増加する場合があることが報告されています。
壁の近くで付加質量が増えるのはなぜか
広い水中では、物体に押された水は比較的自由に周囲へ逃げられます。
しかし壁や底面が近いと、流体の通り道が制限されます。
そのため物体を加速するとき、狭い流体領域に大きな速度変化や圧力変化を作る必要があり、付加質量効果が強くなることがあります。
自由表面が近い場合も同じなのか
必ずしも同じではありません。
水面のような自由表面は変形できるため、固い壁とは流れの境界条件が違います。
波が生じる場合には、付加質量だけでなく造波や放射減衰も関わります。
海洋工学では、物体の深さや水面との距離によって流体力が変わるため、付加質量と減衰を合わせて扱うことがあります。
水中で腕を振ると重く感じるのも付加質量なのか
一部は付加質量で説明できます。
腕を急に加速すると、腕の周囲の水も一緒に加速する必要があります。
そのため空気中より大きな力が必要です。
ただし実際の腕の運動では、付加質量だけでなく抗力、渦、皮膚摩擦なども大きく関係します。
「水中では重い」という感覚をすべて付加質量だけで説明するのは正確ではありません。
船や潜水艇でも付加質量は重要なのか
重要です。
船や潜水艇が加速・減速・旋回すると、周囲の大量の水も動きます。
そのため直進方向だけでなく、横方向、上下方向、回転方向にも付加質量や付加慣性モーメントが現れます。
海洋工学では、操縦性能や振動応答を求めるためにこれらの係数を使います。
魚や水中ロボットにも関係する
魚や水中ロボットが尾やひれを動かすと、その周囲の水も加速されます。
この流体の反作用は、推進力や姿勢制御へ影響します。
Journal of Fluid Mechanicsでも、泳動する細長い物体の反力を、周囲の水の付加質量を加速する効果として扱う理論が紹介されています。
付加質量はエネルギーからも理解できる
物体を水中で静止状態から速度Uまで加速すると、物体自身だけでなく周囲の流体も運動エネルギーを持ちます。
その流体の運動エネルギーが
Kfluid = (1/2)maU2
のように書ける場合、maを付加質量として解釈できます。
Caltechの解説でも、付加質量は流体運動に伴う運動エネルギーを質量の形で表した量として説明されています。
なぜ付加質量は「仮想質量」とも呼ばれるのか
付加質量は、物体へ実際に固定された追加物質ではないため、「仮想質量」や「見かけの質量」と呼ばれることがあります。
しかし効果自体は仮想ではありません。
実際に追加の力が必要になり、振動周期や加速度も変化します。
「仮想」という言葉は、流体力を質量の形で便利に表現しているという意味です。
付加質量はいつも一定なのか
理想的な単純形状・理想流体では、一定の係数として扱えることがあります。
しかし現実には、物体形状、境界との距離、振動周波数、自由表面、流体の成層、渦や粘性などによって変化する場合があります。
そのため精密な設計では、条件に合った実験値や数値解析を用いて評価します。
「水中では質量が増える」と言い切ってよいのか
厳密には、「物体の慣性質量そのものが増える」と言うのは正確ではありません。
物体自身の質量mは変わっていません。
変わったのは、物体を加速するときに周囲の流体も同時に加速しなければならないため、必要な力が増えたことです。
その追加の慣性効果を、あたかも質量maが追加されたように表しているのが付加質量です。
既存の「慣性は質量と質量分布で決まる」記事とは何が違うのか
既存の記事では、真空中や通常の力学モデルで、並進慣性は質量m、回転慣性は質量分布と回転軸で決まることを扱っています。
一方、この記事では、物体自身の質量が変わらなくても、流体中では周囲の流体を加速する必要があるため、見かけ上の慣性が増えるという流体力学特有の現象を扱っています。
つまり、前者は「物体自身の慣性」、本記事は「流体との相互作用で現れる追加の慣性」が主題です。
まとめ
水中で物体を加速すると、質量が増えたような付加質量が現れるのは、物体だけでなく周囲の水も同時に加速しなければならないからです。
そのため、同じ加速度を与えるには空気中や真空中より大きな力が必要になります。
この追加の力を
Fadded = maa
と表したときのmaが付加質量です。
付加質量は、物体自身の材質だけではなく、流体密度、物体の形、運動方向、壁や水面との距離などによって変わります。
また、振動体では付加質量によって固有振動数が下がり、振動周期が長くなることがあります。
つまり、付加質量とは「物体の質量が本当に増えた」現象ではなく、周囲の流体を一緒に動かすために必要な追加の慣性を、質量として表したものなのです。
関連記事
参考資料
- J-STAGE「物理教育通信 193巻」―「水中での振動周期と付加質量の測定」
- Journal of Fluid Mechanics「Quantification of added-mass effects」
- CaltechAUTHORS「A Review of Added Mass and Fluid Inertial Forces」
- MIT OpenCourseWare「Marine Hydrodynamics Lecture Notes」
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