車が発進すると速さが増え、ブレーキをかけると遅くなります。一定の速さで走っていても、カーブを曲がれば進む向きが変わります。こうした「運動の変わり方」を一つの量で表すために使われるのが加速度です。
加速度が速度の時間変化として定義されるのは、運動の変化を知るには、ある時刻の速度と別の時刻の速度を比べ、その変化がどれだけの時間で起きたかを見る必要があるからです。速度の差だけでは変化の激しさは分かりません。同じ10m/sの速度変化でも、1秒で起これば急な変化、10秒で起こればゆるやかな変化です。
そこで物理学では、速度の変化量を時間間隔で割り、単位時間あたりに速度がどれだけ変わったかを加速度として表します。この定義から、平均加速度、瞬間加速度、m/s²という単位、速度―時間グラフの傾き、円運動での向きの変化までが一つにつながります。
加速度を考えるには、まず速度の変化を見る
ある物体の初めの速度をv1、後の速度をv2とすると、速度の変化量は
Δv＝v2−v1
で表せます。
たとえば一直線上で、速度が2m/sから8m/sへ変わったなら、速度変化は6m/sです。逆に8m/sから2m/sへ変わったなら、正方向を同じに取った場合の速度変化は−6m/sになります。
ただし、速度変化の大きさだけでは、その運動が急激に変わったのか、ゆっくり変わったのかは分かりません。そこで時間が必要になります。
なぜ時間で割る必要があるのか
同じ6m/sの速度変化でも、1秒で起きた場合と3秒で起きた場合では、運動の変わり方は異なります。
1秒で6m/s変わったなら、単位時間あたりの変化は6m/sずつです。3秒で6m/s変わったなら、平均すれば1秒あたり2m/sずつ変化しています。
この違いを数量化するため、速度変化Δvを時間間隔Δtで割ります。平均加速度は
aavg＝Δv／Δt
と定義されます。OpenStaxも平均加速度を「速度が変化する割合」として、速度変化を時間変化で割った量として定義しています。
加速度の単位がm/s²になる理由
速度のSI単位はm/sです。加速度は速度をさらに時間sで割るため、単位は
(m/s)/s＝m/s²
となります。
NISTのSI資料でも、加速度のSI組立単位はmeter per second squared、記号m/s²とされています。
2m/s²という加速度は、単純な一直線上の例なら「速度が1秒ごとに2m/sずつ変化する」ことを表します。m/s²は単に「メートル毎秒の二乗」という記号ではなく、速度の変化率という意味を持っています。
平均加速度だけでは途中の変化は分からない
平均加速度は、ある時間区間全体をまとめた値です。そのため、途中で速度がどのように変化したかまでは表しません。
たとえば0m/sから10m/sまで5秒で変化した二つの車があるとします。どちらも平均加速度は2m/s²です。しかし、一方はほぼ一定の割合で加速し、もう一方は最初の4秒間ほとんど変化せず、最後の1秒で急加速したかもしれません。
全体の平均だけでは、ある瞬間の運動変化を知ることはできません。そこで瞬間加速度が必要になります。
瞬間加速度はどうやって定義されるのか
瞬間加速度を求めるには、注目する時刻の近くで短い時間間隔を取り、その間の平均加速度を考えます。そして、その時間間隔をどんどん短くします。
1秒、0.1秒、0.01秒と時間間隔を短くし、平均加速度がある値へ近づくなら、その極限をその瞬間の加速度と定義します。
数学的には、速度vを時間tの関数v(t)として表したとき、瞬間加速度aは
a＝dv/dt
と書けます。OpenStaxも、瞬間加速度を速度関数の時間微分として定義しています。
これは速度が位置の時間微分であることと対応しています。位置から速度、速度から加速度へと、運動の変化を一段ずつ詳しく見ていく構造になっています。
速度―時間グラフの傾きが加速度になる
加速度の定義は、グラフで見ると直感的です。横軸を時間t、縦軸を速度vとした速度―時間グラフを考えます。
二つの時刻の間で、縦方向の変化量はΔv、横方向の変化量はΔtです。その比Δv/Δtはグラフ上の直線の傾きになります。つまり、速度―時間グラフの二点を結ぶ傾きは平均加速度です。
時間間隔を限りなく短くすると、二点を結ぶ直線は接線へ近づきます。その接線の傾きが瞬間加速度です。
このため、速度―時間グラフが右上がりなら正の加速度、右下がりなら負の加速度、水平なら加速度0と読み取れます。
「加速度が正なら速くなる」とは限らない
加速度の正負は、選んだ座標の正方向によって決まります。したがって、正の加速度だから必ず速くなり、負の加速度だから必ず遅くなるとは限りません。
たとえば右向きを正とし、物体が左向きに−5m/sで進んでいるとします。そこへ左向きの−2m/s²の加速度が加わると、1秒後には速度が−7m/sになり、速さは5m/sから7m/sへ増えています。
反対に、物体が右向きに5m/sで進み、加速度が−2m/s²なら、速さは小さくなります。
つまり、速くなるか遅くなるかは、速度と加速度の向きの関係で決まります。符号だけではなく、両方のベクトルを見る必要があります。
速度の大きさが変わらなくても加速度は生じる
加速度は「速さが増える割合」とだけ考えると不十分です。速度は大きさと向きを持つベクトルなので、向きが変われば速度も変化します。
たとえば一定の速さで円を描く物体は、速さ自体は変わっていません。しかし進行方向は刻々と変わるため、速度ベクトルは変化しています。その結果、中心向きの加速度が存在します。
J-STAGEのベクトル教育に関する報告でも、円運動の加速度を理解するには、速度をベクトルとして扱い、その向きの変化を捉えることが重要だとされています。
加速度が速度の時間変化として定義されているからこそ、速くなる・遅くなる・曲がるという異なる運動を同じ枠組みで表せます。
加速度0とはどんな状態か
加速度が0ということは、速度が時間とともに変化していないことを意味します。
物体が静止している場合、速度は0のまま変化しなければ加速度も0です。しかし、一定速度で直線運動している物体も、速度が変化していないため加速度は0です。
このことから、加速度0は「止まっていること」ではなく、「速度が一定であること」を表します。静止も等速直線運動も、速度の時間変化という観点では同じ状態として扱えます。
速度0でも加速度は0とは限らない
反対に、ある瞬間の速度が0でも加速度が0とは限りません。
真上に投げたボールは、最高点で一瞬だけ速度が0になります。しかしその瞬間にも重力による下向きの加速度があります。そのためボールは最高点に止まり続けず、次の瞬間には下向きに動き始めます。
この例は、速度と加速度が異なる役割を持つことをよく示しています。速度はその瞬間の運動状態、加速度はその状態がどう変化しようとしているかを表します。
加速度は位置・速度の次に現れる量
運動を数学的に記述すると、位置・速度・加速度は階層的につながっています。
位置x(t)の時間変化が速度v(t)であり、速度v(t)の時間変化が加速度a(t)です。
x(t) → v(t)=dx/dt → a(t)=dv/dt
さらに書けば、加速度は位置の時間についての二階微分
a=d²x/dt²
として表せます。
この構造によって、位置の測定データから速度を求め、さらに速度の変化から加速度を求めることができます。運動を測定して数値化する基本の流れです。
実験では加速度をどう確かめるのか
加速度は目で直接見ることはできませんが、運動データから求めたり、センサーで測定したりできます。
J-STAGEの「タブレットを用いた生徒実験用力学教材の開発と実践」では、加速度センサーを利用して、等速直線運動、等加速度直線運動、自由落下、鉛直投げ上げといった典型的な運動を測定する教材が報告されています。
また、日本科学教育学会の研究では、加速度を速度から間接的に求めるだけでは速度と加速度の混同が起こりやすいという課題に対し、加速度計を用いて加速度そのものを量として捉える教材が開発されています。
実験で加速度を測ることは、「速度が変わる割合」という抽象的な定義を、実際の運動と結び付ける助けになります。
加速度センサーは何を測っているのか
スマートフォンや自動車などに使われる加速度センサーは、内部の小さな質量の動きや変形を利用して、装置が受ける加速度に対応した信号を検出します。
ただし、センサーが直接「速度の差を計算している」とは限りません。物理学としての加速度の定義は速度の時間変化ですが、測定装置では力や変位など別の物理量を利用して加速度を推定することがあります。
定義と測定方法は同じではありません。定義は「加速度とは何か」を決め、測定技術は「その量をどう知るか」を工夫します。
加速度の定義が力学につながる理由
加速度を速度の時間変化として定義しておくと、ニュートンの第2法則によって運動の変化を力と結び付けられます。
合力F、質量m、加速度aの間にはF＝maという関係があります。したがって、物体の速度がどの割合で変化しているかが分かれば、質量と組み合わせて、その変化を生む合力を考えられます。
反対に、力が分かれば加速度を求め、そこから速度の変化を予測できます。つまり加速度は、速度という運動の記述と、力という運動変化の原因をつなぐ役割を持っています。
なぜ「加速度＝速度の時間変化」という定義が自然なのか
運動の変化を表すには、まず運動状態を表す量が必要です。その役割を持つのが速度です。
次に、「その運動状態がどれだけ変わったか」を表すために速度の差を取ります。しかし差だけでは変化の急激さを比較できないため、それが起こった時間で割ります。
この二段階によって、加速度は「単位時間あたりの速度変化」として定義されます。さらに短い時間間隔の極限を考えれば、その瞬間の運動変化も表せます。
この定義は、一直線の加速・減速だけでなく、円運動のような方向変化にもそのまま適用できます。だからこそ、さまざまな運動を統一的に扱える基本量として使われています。
まとめ
加速度が速度の時間変化として定義されるのは、運動状態の変わり方を数量化するためです。まず二つの時刻の速度差Δvを求め、それを時間間隔Δtで割ると平均加速度a＝Δv/Δtになります。
時間間隔を限りなく短くすると瞬間加速度となり、数学的にはa＝dv/dtで表されます。速度―時間グラフでは傾きが加速度に対応し、単位m/s²は「速度が1秒ごとに何m/s変化するか」を意味します。
また速度はベクトルなので、加速度は速さの増減だけでなく方向の変化も表します。このため、発進、減速、投げ上げ、円運動などを同じ定義で扱えます。
加速度とは、単に「どれくらい速くなったか」を示す量ではありません。速度という運動状態が時間の中でどのように変化しているかを表し、その変化を力と結び付けるために定義された基本量なのです。
参考資料
- J-STAGE「タブレットを用いた生徒実験用力学教材の開発と実践」
- J-STAGE「『ベクトルって動かしていいの？』自由ベクトルと束縛ベクトル」
- OpenStax「3.3 Average and Instantaneous Acceleration」
- NIST Guide to the SI「SI derived units」
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