水中の物体には上向きの浮力が働きます。学校物理では、その大きさを
FB = ρVg
と表します。
ここでρは流体の密度、Vは物体が押しのけた流体の体積、gは重力加速度です。
この式を見ると、浮力は流体の密度と押しのけた体積には依存しますが、深さhは直接入っていません。水圧は深いほど大きくなるのに、なぜ浮力は深さに直接依存しないのでしょうか。
答えは、浮力が「圧力そのもの」ではなく、物体の上面と下面などに働く圧力の差によって決まるからです。密度が一定の流体では、物体全体を深く沈めると上面と下面の圧力はどちらも同じだけ増えるため、その差は変わりません。
まず、水圧は深さとともにどう変わるのか
静止した密度一定の流体では、深さhの位置の圧力は
p = p0 + ρgh
と表せます。
p0は水面など基準位置の圧力です。
この式から、深くなるほど圧力が大きくなることが分かります。深さを1 m増やすと、その分だけ上にある流体の重さを支える必要があるため、圧力は増えます。
OpenStaxでも、静止流体では圧力が深さに比例して増加することを浮力の出発点として説明しています。
直方体を水中に沈めると何が起こるのか
分かりやすくするため、水平な上面と下面をもつ直方体を水中に完全に沈めたとします。
上面の深さをh1、下面の深さをh2とします。下面の方が深いので、
h2 > h1
です。
上面に働く圧力は
p1 = p0 + ρgh1
下面に働く圧力は
p2 = p0 + ρgh2
です。
下面の方が圧力が大きいため、下面から受ける上向きの力が、上面から受ける下向きの力より大きくなります。
圧力から浮力を式で求める
直方体の上面・下面の面積をAとします。
上面に働く下向きの力は
F1 = p1A
下面に働く上向きの力は
F2 = p2A
です。
上向きの正味の力、つまり浮力は
FB = F2 − F1
なので、
FB = (p2 − p1)A
となります。
圧力の式を代入すると、
FB = ρg(h2 − h1)A
です。
直方体の高さをH = h2 − h1とすれば、体積VはAHなので、
FB = ρVg
が得られます。
なぜ深さhが式から消えるのか
重要なのは、浮力を決めるのが絶対的な深さではなく、物体の上面と下面の深さの差だからです。
物体全体をさらに10 m深く沈めたとします。
すると上面も下面も10 m深くなり、それぞれの圧力はρg×10 mだけ増えます。しかし、
h2 − h1
は変わりません。
そのため、
p2 − p1
も変わらず、浮力も同じままです。
つまり、密度一定の流体で、物体の体積や形が変わらないなら、完全に沈んだ物体の浮力は深さに直接依存しません。
「深いほど水圧が大きい」のに浮力が増えないのは矛盾ではない
深い場所では、物体表面のすべての場所で圧力が大きくなります。
しかし、浮力は表面全体に働く圧力の合力です。
物体を深くすると、上面を下向きに押す力も増えます。同時に、下面を上向きに押す力も同じ基準分だけ増えます。
両者の差を取ると、その共通して増えた分は打ち消し合います。
したがって、「水圧は深いほど大きい」と「浮力は深さに直接依存しない」は両立します。
アルキメデスの原理とは何か
アルキメデスの原理は、物体が受ける浮力は、その物体が押しのけた流体の重さに等しいという法則です。
押しのけた流体の質量はρVなので、その重さは
ρVg
です。
したがって、
FB = ρVg
となります。
国土交通省近畿地方整備局の神戸港湾事務所も、船が受ける浮力を「押しのけた水の重さに等しい」と説明しています。
なぜ形が複雑でもρVgになるのか
直方体なら上面と下面の圧力差から簡単に導けますが、実際の物体は複雑な形をしています。
それでもアルキメデスの原理は成り立ちます。
考え方は、物体が占めている場所を「同じ形・同じ体積の流体」に置き換えることです。
その流体のかたまりが静止しているなら、周囲の流体から受ける圧力の合力は、その流体自身の重さをちょうど支えているはずです。
同じ場所を物体に置き換えても、周囲の流体が表面へ与える圧力分布は同じなので、圧力の合力も同じです。
したがって浮力は、押しのけた流体の重さρVgに等しくなります。
完全に沈んでいる物体なら、浮力は体積だけで決まるのか
密度一定の流体で、重力加速度もほぼ一定なら、完全に沈んだ物体の浮力は
FB = ρVg
なので、流体の密度ρと物体が押しのける体積Vで決まります。
物体自身が鉄か木かという材質は、浮力の式には直接入りません。
同じ体積の鉄球と木球を同じ水中に完全に沈めれば、理想的には同じ大きさの浮力を受けます。
ただし、鉄球と木球では重力が異なるため、浮力と重力の差で決まる運動は異なります。
浮く物体ではVは何を意味するのか
物体が水面に浮いていて一部だけが水中にある場合、Vは物体全体の体積ではありません。
実際に水中へ入っている部分が押しのけた流体の体積です。
物体が静止して浮いているなら、浮力と重力がつり合います。
ρfluidVsubg = mg
です。
物体の平均密度をρobject、全体体積をVtotalとすると、
m = ρobjectVtotal
なので、
Vsub / Vtotal = ρobject / ρfluid
となります。
つまり、物体の平均密度が流体の半分なら、理想的には体積の約半分が沈んだところでつり合います。
海水の方が真水より浮力が大きいのはなぜか
浮力の式
FB = ρVg
では、流体密度ρが大きいほど浮力が大きくなります。
海水は塩分を含むため、一般に真水より密度が高くなります。
したがって、同じ体積を押しのけるなら、海水中の方が大きな浮力を受けます。
人が真水より海水で浮きやすく感じるのはこのためです。
深さに依存しないのはどんな条件のときか
「浮力は深さに依存しない」という表現には条件があります。
代表的には、
- 流体の密度ρが深さによらずほぼ一定
- 物体の体積Vが圧力で変化しない
- 重力加速度gが同じとみなせる
- 流体が静止している
といった条件です。
これらが成立する範囲では、同じ物体を深く沈めてもρ、V、gが変わらないため、浮力も変わりません。
気体では深さや高度によって浮力が変わることがある
空気のような気体は圧縮されやすいため、密度が場所によって変化します。
高度が変われば空気密度ρが変わるので、同じ体積の物体でも浮力は変わります。
熱気球や気象観測用の気球では、高度が上がるほど外気の密度が低下するため、浮力の条件も変化します。
したがって、浮力が深さや高度に「全く関係しない」のではなく、ρVgの各量が変わらない範囲で、深さそのものには直接依存しないと理解するのが正確です。
非常に深い水中ではどうなるのか
水は気体ほど圧縮されませんが、厳密には完全な非圧縮ではありません。
非常に大きな圧力では水の密度がわずかに変化し、物体自身も圧縮される可能性があります。
その場合、ρやVが深さとともに変わるため、浮力も少し変化します。
深海探査機や高圧実験では、こうした圧縮性を無視できない場合があります。
物体が圧縮されると浮力はどう変わるのか
柔らかい物体や気体を含む容器は、深くなると外圧によって体積が小さくなることがあります。
浮力はρVgなので、流体密度がほぼ同じでもVが小さくなれば浮力は減ります。
潜水機や浮標、気泡などでは、圧力による体積変化が運動に大きく影響することがあります。
特に気泡は圧力変化によって体積が大きく変わるため、単純に「深さに関係なく同じ浮力」とは言えません。
気泡は深い場所ほど浮力が小さくなるのか
同じ量の気体を含む気泡を考えると、深い場所ほど周囲の圧力が高いため気泡は圧縮され、体積Vが小さくなりやすくなります。
するとρVgのVが小さくなるため、浮力も小さくなる方向に変化します。
気泡が上昇すると周囲の圧力が下がり、気泡が膨張して浮力が増えることがあります。
この例は、「深さそのもの」が浮力へ直接入るわけではなく、深さによって体積や密度が変化すると、その結果として浮力が変わることを示しています。
浮力は物体の質量に依存しないのか
浮力の式FB = ρVgには、物体の質量mは直接入っていません。
しかし、物体が浮くか沈むかは、浮力だけでなく重力mgとの比較で決まります。
同じ体積の物体なら浮力は同じでも、質量が大きい物体ほど重力が大きくなります。
そのため、同じ大きさの鉄球と木球を水中へ入れると、浮力はほぼ同じでも、鉄球は沈みやすく木球は浮きやすくなります。
浮力と圧力の関係を理解すると何が分かるのか
浮力をρVgという公式だけで覚えると、「なぜ深さが式にないのか」が分かりにくくなります。
一方、圧力差から考えると、
- なぜ浮力が上向きなのか
- なぜ押しのけた流体の重さと等しいのか
- なぜ密度一定なら深さに直接依存しないのか
- なぜ海水の方が浮力が大きいのか
- なぜ気体や圧縮される物体では条件が変わるのか
を一つの考え方で説明できます。
「浮力は深さに依存しない」を問題で使うときの注意
学校物理では、密度一定の液体中で、体積が変化しない物体を完全に沈める問題がよく出ます。
この条件なら、深さを変えても浮力は同じと考えて構いません。
ただし、次のような場合は注意が必要です。
- 流体密度が場所によって変わる
- 物体が一部しか沈んでおらず、沈む体積が変わる
- 物体が圧縮されて体積が変わる
- 流体が加速・回転している
- 流れによる動的な力が無視できない
浮力の基本式は単純ですが、ρ・V・gが本当に一定かを確認することが大切です。
既存の「なぜ浮力が生じるか」という説明とは何が違うのか
浮力がなぜ生じるかを理解する記事では、流体中で深い場所ほど圧力が高くなり、物体下面が上面より強く押されることが中心になります。
一方、この記事では、その圧力差を式にしてなぜ浮力がρVgになるか、そしてなぜ一定密度では深さが式から消えるかを重点的に扱っています。
つまり、前者は浮力の「発生原因」、後者は浮力の「法則と定量化」が主題です。
まとめ
浮力が
FB = ρVg
で表されるのは、物体表面に働く流体圧力をすべて合成すると、押しのけた流体の重さと等しい上向きの力になるからです。
密度一定の流体では、物体を深く沈めると上面・下面の圧力はどちらも増えますが、両者の圧力差は変わりません。そのため、物体の体積が変わらなければ、浮力は深さそのものには直接依存しません。
ただし、気体のように流体密度が変わる場合や、物体が圧縮されて体積が変わる場合には、ρやVが変化するため浮力も変化します。
「深さに依存しない」という法則は、ρ・V・gが一定という条件のもとで成り立つ近似だと理解することが重要です。
関連記事
参考資料
- 国土交通省 近畿地方整備局 神戸港湾事務所「船はどうして浮かぶのですか？」
- J-STAGE『物理教育』「浮力の実験『気体を押し縮めると重くなる?』」
- OpenStax「Archimedes’ Principle and Buoyancy」
- NASA Glenn Research Center「Buoyancy: Archimedes Principle」
コメント