はしご、看板、橋、机、クレーンのアームなど、大きさをもつ物体が静止しているかを考えるときには、「力がつり合っているか」だけでは十分ではありません。
物体全体が並進しないためには外力のベクトル和が0である必要があり、さらに回転しないためには外力のモーメントの和も0である必要があります。
ところが、モーメントは「どの点を基準にするか」で一つ一つの値が変わります。それなのに、剛体のつり合いを判定するときは、基準点をどこに選んでも同じ結論になります。
なぜでしょうか。
結論から言えば、外力の合力が0なら、基準点を移したときに生じるモーメントの変化分も0になるため、合モーメントが0かどうかという判定は変わらないからです。
剛体のつり合いには2つの条件がある
大きさを無視できる質点なら、合力が0であれば並進加速度は0です。
しかし、棒や板のように大きさをもつ剛体では、合力が0でも回転することがあります。
そのため、静的つり合いには通常、
ΣF = 0
Στ = 0
の2条件が必要です。
OpenStaxは、剛体の静的平衡について、外力の総和が0であることと、外力によるトルクの総和が0であることをそれぞれ第1・第2の平衡条件として示しています。
Science Tokyoの力学シラバスでも、剛体の運動方程式と力のモーメント、剛体のつり合い条件を一つの学習項目として扱っています。
力のモーメントとは何か
ある基準点Oから、力Fが作用する点までの位置ベクトルをrとすると、Oまわりのモーメントτは
τ = r × F
と表せます。
平面問題では、その大きさは
τ = rF sinθ
です。
つまりモーメントは、力の大きさだけでなく、基準点から作用線までの距離にも依存します。
そのため、同じ力でも基準点を変えれば、その力のモーメントは一般に変わります。
基準点を変えると一つ一つのモーメントは変わる
たとえば棒に下向きの重力が働いているとします。
棒の左端を基準点にすれば、重力のモーメントは大きくなるかもしれません。
一方、棒の重心そのものを基準点に選べば、その重力の作用線が基準点を通るため、重力のモーメントは0になります。
このように、個々の力のモーメントは基準点に依存します。
それでも、剛体が本当に静的につり合っているなら、どの点を基準に選んでも合モーメントは0になります。
なぜ合モーメントのつり合いは基準点によらないのか
基準点Oについて、複数の外力Fiが作る合モーメントを
τO = Σ(ri × Fi)
とします。
次に、基準点をOからO′へ移します。
OからO′への位置ベクトルをaとすると、O′から各力の作用点までの位置ベクトルは
r′i = ri − a
です。
したがってO′まわりの合モーメントは、
τO′ = Σ[(ri − a) × Fi]
となります。
分配すると、
τO′ = Σ(ri × Fi) − a × ΣFi
つまり、
τO′ = τO − a × Fnet
です。
合力が0なら基準点を変えても合モーメントは同じ
剛体が並進についてつり合っているなら、
Fnet = ΣFi = 0
です。
すると、先ほどの式は
τO′ = τO
となります。
つまり、合力が0のときに限れば、合モーメントは基準点を移しても変わりません。
したがって、ある点Oについて合モーメントが0なら、別の点O′についても合モーメントは0です。
これが、静的つり合い問題でモーメントの基準点を自由に選べる理由です。
OpenStaxも「任意の基準点を選べる」と説明している
OpenStaxは、静的平衡で合力0と合トルク0の両条件が成立していれば、平衡条件を使うときの基準点は任意に選べると説明しています。
これは単なる計算上の便利なテクニックではなく、先ほどの
τO′ = τO − a × Fnet
という関係の結果です。
合力が0なら、基準点を変えても合モーメントが変わらないからです。
なぜ基準点を自由に選べると便利なのか
静力学では、未知の力が複数あることがよくあります。
たとえば壁に立てかけたはしごなら、床や壁から受ける抗力、摩擦力、重力などが働きます。
このとき、未知の反力が働く点をモーメントの基準点に選ぶと、その反力は基準点を通るためモーメントが0になります。
すると、未知数を一つ式から消して計算できます。
法政大学の力学基礎シラバスでも、剛体の静力学として力のモーメントのつり合いと自由体図を繰り返し扱っています。
支点を基準点に選ぶことが多い理由
はしご、梁、てこなどでは、支点に未知の反力が働くことが多くあります。
支点を基準点にすると、その支点反力のモーメントは0です。
そのため、残りの力だけでモーメントのつり合い式を立てられます。
たとえば長さLの水平な梁を左端で支え、中央に重力W、右端に上向きの力Tが働いているとします。
左端を基準点にすれば、左端の支点反力は式から消え、
TL − W(L/2) = 0
のように簡単に書けます。
別の点を基準にしても同じ答えになる
同じ梁で、今度は右端を基準点に選んでも構いません。
するとTのモーメントが0になり、左端の反力と重力のモーメントを使う式になります。
式の見た目は変わりますが、力のつり合い条件も同時に使えば、最終的に同じ反力・張力が得られます。
OpenStaxも、静的平衡の問題では異なる基準点を選ぶと異なる式の組になるが、どの選び方でも同じ解に到達すると説明しています。
合力が0でない場合は基準点を変えるとどうなるのか
合力Fnetが0でない場合、
τO′ = τO − a × Fnet
なので、基準点を変えると合モーメントも変わります。
つまり、「合モーメントは基準点によらない」という性質は、一般にいつでも成り立つわけではありません。
合力が0であることが重要な条件です。
一つの力だけが働く物体ではどうなるのか
一つの外力Fだけが働いている物体を考えます。
その力の作用線上の点を基準にすれば、モーメントは0にできます。
しかし、別の点を基準にすればモーメントは0でないことがあります。
これは矛盾ではありません。
合力Fnetが0ではないため、基準点を変えたときに合モーメントも変化するからです。
したがって、モーメントだけ見て「つり合っている」と判断してはいけません。
なぜΣF=0とΣτ=0の両方が必要なのか
ΣF=0だけでは回転する可能性があります。
たとえば、大きさが同じで反対向きの二つの平行な力を、離れた位置に加えるとします。
合力は0ですが、回転させるモーメントは残ります。
このような力の組を偶力と呼びます。
逆に、ある点についてΣτ=0でも、合力が0でなければ物体は並進加速する可能性があります。
したがって、静的平衡には並進と回転の両方を止める条件が必要です。
偶力のモーメントはなぜ基準点によらないのか
偶力は、大きさが等しく反対向きの二力からできています。
そのため、偶力全体の合力は0です。
合力が0なので、先ほどの式
τO′ = τO − a × Fnet
では第2項が消えます。
したがって、偶力の合モーメントは基準点を変えても同じです。
これは、偶力が「純粋に回転させる効果」を表す理由でもあります。
重心を基準点にすると何が分かるのか
剛体の運動では、重心の並進運動と、重心まわりの回転運動に分けて考えることがあります。
重心についてモーメントを考えると、剛体全体の回転を整理しやすくなります。
ただし、静的つり合い問題では重心を必ず基準点にしなければならないわけではありません。
計算が最も簡単になる点を選べばよく、その自由があるのはΣF=0が成立しているためです。
二次元の静力学では何本の式を使うのか
平面内の剛体なら、通常は
ΣFx = 0
ΣFy = 0
Στ = 0
の3本を使います。
力のつり合い2本が並進を、モーメントのつり合い1本が回転を制約します。
この3本が独立な条件になるため、未知の反力が3つまでなら解けることが多くあります。
三次元では条件が増える
三次元では、力の成分がx・y・zの3方向、モーメントもx・y・z軸まわりの3成分を持ちます。
したがって一般には、
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣFz = 0
Στx = 0
Στy = 0
Στz = 0
という6条件を考えます。
OpenStaxでも、一般的な剛体の平衡条件を、外力3成分と外力モーメント3成分の合計6本のスカラー方程式として整理しています。
自由物体図を描くときの手順
剛体の静力学では、まず対象の物体だけを取り出して自由物体図を描きます。
次に、
- 重力
- 支点反力
- 張力
- 垂直抗力
- 摩擦力
- 外から加えた力
など、物体に働く外力をすべて描きます。
そのうえで、ΣF=0を立て、モーメント計算が簡単になる基準点を選びます。
基準点を先に適当に選ぶより、「どの未知力を式から消せるか」を考えて選ぶと効率的です。
なぜ作用線上の点を選ぶとその力のモーメントが0になるのか
力のモーメントは
τ = rF sinθ
で表されます。
基準点が力の作用線上にあれば、位置ベクトルrと力Fは平行または反平行になります。
その場合θは0度または180度なので、sinθ = 0です。
したがって、その力のモーメントは0になります。
未知の支点反力が通る点を基準点に選ぶと計算が簡単になるのはこのためです。
力の作用点を勝手に移してよいのか
剛体に働く一つの力は、その作用線に沿ってなら移動しても、並進効果と回転効果は変わりません。
しかし、作用線から外れた場所へ平行移動すると、同じ力だけではモーメントが変わってしまいます。
その場合は、元と等価にするために追加の偶力モーメントが必要です。
「基準点を自由に選べる」ことと、「力の作用点をどこへでも自由に移せる」ことは別なので注意が必要です。
静的平衡と動的平衡は何が違うのか
静的平衡では、剛体は選んだ慣性系で静止しています。
一方、合力と合モーメントが0なら、並進速度や角速度が一定の状態も平衡と呼べます。
OpenStaxは、線形加速度と角加速度が0なら平衡であり、そのうち選んだ座標系で静止している場合を静的平衡としています。
建築物やはしごのような静力学問題では、通常は静的平衡を考えます。
基準点を変えても判定が変わらないことの実用的な意味
この性質があるおかげで、橋、梁、クレーン、足場、看板などの計算では、問題ごとに最も便利な点を基準にできます。
もしモーメントのつり合い判定が基準点ごとに変わるなら、静力学は非常に扱いにくくなります。
実際には、合力0という条件が同時に成り立っているため、どの点を選んでも同じ平衡状態を表せます。
そのうえで、計算だけは最も簡単になる基準点を選べます。
既存の「合力0なら加速しない」という説明とは何が違うのか
力のつり合いを扱う基本記事では、複数の力のベクトル和が0なら物体の並進加速度が0になることが中心です。
一方、この記事では大きさをもつ剛体に対象を絞り、ΣF=0に加えてΣτ=0が必要であること、そしてΣF=0なら合モーメントの判定が基準点によらなくなる理由を重点的に扱っています。
つまり、前者は「力のつり合いと並進運動」、本記事は「剛体の回転を含む静力学とモーメント基準点の自由」が主題です。
まとめ
力がつり合う剛体で、モーメントの基準点をどこに選んでも平衡判定が変わらないのは、基準点OからO′へ移したときの合モーメントが
τO′ = τO − a × Fnet
と変換されるからです。
剛体が並進についてつり合っていれば、
Fnet = 0
なので、
τO′ = τO
となります。
したがって、ある点について合モーメントが0なら、別のどの点についても合モーメントは0です。
このため、静力学では支点や未知反力の作用点など、計算が最も簡単になる点を自由に基準点として選べます。
剛体の静的つり合いとは、単に「力が打ち消し合う」状態ではなく、並進と回転の両方について外力の効果が残っていない状態なのです。
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