熱いフライパンの取っ手がだんだん熱くなったり、冷たい窓ガラスに触れると手の熱が奪われたりするのは、物質の中を熱が伝導するからです。では、その熱がどれくらいの速さで流れるかは、何によって決まるのでしょうか。
結論からいうと、通常の巨視的な熱伝導では、単位面積あたりの熱の流れは温度勾配と熱伝導率によって決まり、その関係を表すのがフーリエの法則です。温度が急激に変化しているほど熱は強く流れ、熱伝導率の大きい材料ほど同じ温度差でも多くの熱を運びます。
さらに、フーリエの法則とエネルギー保存則を組み合わせると、物体内部の温度が時間とともにどう変化するかを表す熱伝導方程式が得られます。熱伝導の多くの設計計算は、この二つを基礎に組み立てられています。
熱伝導を説明する最も基本的な法則は何か
熱伝導の基本となるのが、フーリエの法則です。一次元の場合、熱流束qは次のように表されます。
q = -k dT/dx
qは単位面積・単位時間あたりに流れる熱量、kは熱伝導率、dT/dxは位置に対する温度の変化、つまり温度勾配です。
J-STAGEで公開されている伝熱の基礎資料でも、熱伝導で移動する熱流束は物体内の温度勾配に比例し、その比例定数を熱伝導率と呼ぶことが説明されています。
式の負号は、熱が温度の高い方向ではなく、温度が下がる方向へ流れることを示します。つまり熱は、高温側から低温側へ移ります。
なぜ「温度差」ではなく「温度勾配」が重要なのか
二つの場所の温度差が同じでも、その距離が違えば熱の流れ方は変わります。
たとえば、100℃と20℃の面が1 mmしか離れていない場合と、1 m離れている場合では、同じ80℃の温度差でも温度の傾きは大きく異なります。短い距離で急に温度が変わる方が、温度勾配は大きくなります。
フーリエの法則では、この温度勾配が熱流の直接の駆動力になります。同じ材料なら、温度勾配が2倍になれば、単純な条件では熱流束も2倍になります。
このため、断熱材を厚くすると熱が通りにくくなります。同じ室内外温度差でも、厚さを増やせば温度変化が長い距離に分散され、温度勾配が小さくなるからです。
熱伝導率は何を表しているのか
熱伝導率kは、その材料が熱をどれくらい伝えやすいかを表す物性値です。単位はW/(m・K)です。
熱伝導率が大きい材料ほど、同じ温度勾配に対して大きな熱流束が生じます。銅やアルミニウムなどの金属は比較的熱伝導率が大きく、発生した熱を広い範囲へ素早く運びやすい材料です。
一方、空気、発泡プラスチック、繊維系断熱材などは有効熱伝導率が小さく、熱の移動を遅らせる用途に使われます。
NISTでは、異なる温度に保った板の間へ試料を置き、熱流と試料厚さ、温度差を測り、フーリエの法則から断熱材の熱伝導率を求めるガードホットプレート法を用いています。つまり熱伝導率は、熱設計で使うだけでなく、フーリエの法則を利用して実験的に測定できる物性値でもあります。
熱伝導率が材料によって違うのはなぜか
熱伝導率は、物質内部でエネルギーを運ぶ仕組みによって変わります。
金属では、原子格子の振動だけでなく、移動しやすい電子が熱エネルギーを運ぶため、高い熱伝導率を示すことが多くあります。
電気を通しにくい結晶性固体では、原子の集団的な振動であるフォノンが熱輸送の重要な担い手です。結晶欠陥、不純物、粒界などでフォノンが散乱されると、熱は伝わりにくくなります。
気体では、分子が移動・衝突しながらエネルギーを運びます。材料の種類や構造が違えば、エネルギーを運ぶ担い手と散乱の仕方も変わるため、熱伝導率も大きく変わります。
板を通る熱量はどう計算するのか
厚さL、面積Aの平らな板を考え、一方の面が高温Th、反対側が低温Tcで、熱伝導率kが一定だとします。
温度分布が時間的に変化しない定常状態なら、熱移動速度は次の形で表せます。
Qdot = kA(Th – Tc)/L
ここから、熱移動は熱伝導率kと面積Aが大きいほど増え、温度差が大きいほど増え、厚さLが大きいほど減ることが分かります。
米国エネルギー省の熱伝達ハンドブックでも、平板の熱伝導をこのフーリエの法則で表し、温度差、熱伝導率、面積、厚さの関係を基礎として扱っています。
熱抵抗で考えると何が分かりやすいのか
熱伝導は、電気回路のオームの法則と似た形で整理できます。
平板の熱抵抗Rthは、
Rth = L/(kA)
と表せます。
すると熱移動速度は、
Qdot = ΔT/Rth
となります。
電気回路で、電圧差が電流を生み、抵抗が大きいほど電流が小さくなるのと同様に、熱では温度差が熱流を生み、熱抵抗が大きいほど熱流が小さくなります。
DOEの資料でも、熱伝導を電気抵抗回路になぞらえる等価熱抵抗法が紹介されています。この考え方を使うと、壁のように複数材料が重なった構造を簡単に計算できます。
複数の材料が重なった壁はどう計算するのか
石こうボード、断熱材、木材などが熱の流れる方向に順番に重なっている場合、それぞれの熱抵抗を直列につないだものとして扱えます。
各層の熱抵抗がR1、R2、R3なら、全体の熱抵抗は、
Rtotal = R1 + R2 + R3
となります。
熱抵抗の大きい層を追加すれば、全体を流れる熱量は小さくなります。住宅断熱で熱伝導率の小さい材料を一定の厚さで入れるのは、この全体熱抵抗を増やすためです。
一方、金属柱のような熱を通しやすい経路が断熱材と並行して存在すると、そこへ熱が集中して流れます。これが建築で問題になる熱橋の考え方につながります。
定常熱伝導とは何か
定常熱伝導とは、物体内部の各位置の温度が時間とともに変化しなくなった状態の熱伝導です。
たとえば、厚い壁の一方を一定温度の室内、反対側を一定温度の屋外に長時間保ち、条件が変化しなくなったとします。このとき壁内部では熱が流れ続けていても、各位置の温度は一定です。
一様な平板で熱伝導率が一定、内部発熱もない場合、温度分布はおおよそ直線になります。
「定常」とは熱が止まったことではありません。流入する熱量と流出する熱量がつり合い、内部に熱エネルギーが蓄積されなくなった状態です。
非定常熱伝導とは何か
物体の温度が時間とともに変化している場合は、非定常熱伝導、または過渡熱伝導として扱います。
冷たい金属球を熱湯へ入れた直後は、表面から温度が上がり始め、内部には大きな温度差ができます。時間がたつにつれて熱が内部へ拡散し、最終的には全体の温度が周囲へ近づきます。
このような過程では、単純な定常式だけでは不十分です。フーリエの法則に加え、各場所でのエネルギー保存を考える必要があります。
熱伝導方程式はどう導かれるのか
物体のごく小さな領域を考えます。その領域へ入ってくる熱と、出ていく熱に差があれば、その差は領域内部のエネルギー変化になります。
このエネルギー保存則とフーリエの法則を組み合わせると、内部発熱がなく、物性が一定の単純な場合には、
∂T/∂t = α∇²T
という熱伝導方程式が得られます。
ここでαは熱拡散率で、
α = k/(ρc)
と表されます。kは熱伝導率、ρは密度、cは比熱容量です。
J-STAGEの伝熱基礎資料でも、フーリエの法則による熱流入・流出とエネルギー収支から、熱伝導の基礎微分方程式が導かれています。
熱拡散率は何を表しているのか
熱伝導率が「熱をどれだけ通しやすいか」を表すのに対し、熱拡散率は「温度変化が物体内部へどれくらい速く広がるか」を表します。
熱拡散率α = k/(ρc)を見ると、熱伝導率kが大きいほど温度変化は広がりやすくなります。一方、密度ρや比熱cが大きいほど、同じ温度変化を起こすために多くのエネルギーが必要なので、温度分布の変化は遅くなります。
たとえば、熱をよく伝え、しかも熱容量が小さい材料では、温度変化が内部へ素早く伝わります。
熱伝導率と熱拡散率は名前が似ていますが、意味は異なります。熱設計では両方を使い分けます。
なぜ境界条件が必要なのか
熱伝導方程式だけでは、具体的な温度分布は一つに決まりません。物体の表面や初期状態にどのような条件があるかを指定する必要があります。
代表的な境界条件には、表面温度を固定する条件、表面を通る熱流束を指定する条件、周囲の流体との対流熱伝達を指定する条件などがあります。
たとえば同じ金属板でも、一方の面を100℃に固定する場合と、一定のヒーター出力を与える場合では、時間とともに生じる温度分布が異なります。
つまり熱伝導の法則は材料内部の熱流を決めますが、実際の温度分布を求めるには、周囲との熱のやり取りまで含める必要があります。
接触している材料の境界では何が起こるのか
二つの固体を重ねても、実際には表面の微小な凹凸があるため、全面が完全に接触しているわけではありません。
接触部には小さな空隙が残り、熱の流れが妨げられます。その結果、材料の境界で温度が急に変化したように見えることがあります。これを熱接触抵抗として扱います。
電子部品とヒートシンクの間にサーマルグリスや熱伝導シートを入れるのは、表面のすき間を埋め、接触熱抵抗を小さくするためです。
材料そのものの熱伝導率が高くても、接触熱抵抗が大きければ、装置全体として熱をうまく逃がせない場合があります。
熱源が物体内部にある場合はどう考えるのか
電子部品、電熱線、電池などでは、物体内部で熱が発生します。
この場合、熱伝導方程式には内部発熱を表す項を追加します。内部で発生した熱が伝導によって表面まで運ばれ、そこから対流や放射で外へ逃げます。
発熱量が放熱量を上回れば温度は上昇し、やがて放熱と発熱がつり合えば定常温度に近づきます。
電子機器の熱設計では、どこで熱が発生し、どの材料を通り、どの面から外へ出るかを熱抵抗ネットワークや数値解析で評価します。
熱伝導率は常に一定なのか
いいえ。熱伝導率は温度、圧力、材料組成、結晶構造などによって変化します。
狭い温度範囲なら一定値として近似できる場合が多いですが、高温から低温まで大きく温度が変わる場合には、kを温度の関数として扱う必要があります。
相変化が起これば、固体と液体で熱伝導率が変わることもあります。多孔質材料では含水率や気体圧力によって有効熱伝導率が変化する場合があります。
したがってフーリエの法則そのものを使っても、kを一定と仮定できるかどうかは別に確認する必要があります。
方向によって熱伝導率が違う材料もある
すべての材料が、どの方向にも同じように熱を伝えるわけではありません。
結晶や積層材料、繊維強化複合材料などでは、構造の向きによって熱の伝わりやすさが変わることがあります。このような材料を異方性材料といいます。
異方性材料では、熱伝導率を一つの数値ではなく、方向を含むテンソルとして扱うことがあります。
たとえば炭素系材料や複合材料では、ある方向には熱をよく伝え、別の方向には伝えにくい性質を、熱拡散板や断熱構造の設計に利用できます。
フーリエの法則はいつでも成り立つのか
フーリエの法則は、日常的な大きさと時間尺度の熱伝導を非常によく説明し、多くの工学計算で使われています。
一方、数学的な熱伝導方程式では、温度変化の影響が極めて小さいとはいえ瞬時に遠方へ及ぶ形になります。非常に短い時間尺度、極低温、微小・ナノスケールなどでは、熱輸送の有限な伝播時間や非平衡性を無視できない場合があります。
日本機械学会論文集にも、こうした非フーリエ熱伝導を扱うモデルを用いた研究があります。
ただし、住宅、調理器具、一般的な機械、通常の電子機器などの多くでは、フーリエの法則が基本モデルとして十分に有効です。適用限界があるからといって、通常の熱伝導計算で使えないわけではありません。
利用例1：ヒートシンクは熱抵抗を小さくする
CPUやパワー半導体では、小さな領域で大量の熱が発生します。熱を放置すると温度が上がり、性能低下や故障につながります。
そこで、熱伝導率の高い銅やアルミニウムを使い、発熱部からヒートシンクへ熱を伝えます。材料の熱伝導率を高くし、熱が流れる断面積を大きくし、経路を短くすることで熱抵抗を下げます。
さらにフィンで表面積を増やし、対流によって空気へ熱を逃がします。ここでは、伝導と対流を組み合わせて全体の熱抵抗を小さくしています。
利用例2：断熱材は熱抵抗を大きくする
ヒートシンクとは反対に、住宅の断熱では熱抵抗を大きくします。
熱伝導率の小さい材料を厚く使えば、R = L/(kA)の関係から熱抵抗が増え、室内外の温度差が同じでも熱流を小さくできます。
このため断熱材では、低い有効熱伝導率と十分な厚さの両方が重要です。
ただし実際の建物では、窓、柱、金属部材、すき間などの別経路もあるため、壁一枚の熱抵抗だけで建物全体の性能は決まりません。
利用例3：調理器具は温度分布を均一にする
フライパンや鍋では、コンロから熱が局所的に入ります。底の材料が熱をよく伝えれば、その熱が広い範囲へ拡散し、調理面の温度むらを小さくできます。
銅やアルミニウムが調理器具に使われる理由の一つは、高い熱伝導率です。
一方、取っ手には樹脂や木など熱を伝えにくい材料を使い、手まで熱が届きにくくします。
同じ熱伝導の法則を、鍋底では「熱を通す」ため、取っ手では「熱を通しにくくする」ために逆向きに利用しています。
まとめ
熱伝導の速さが温度勾配と熱伝導率で決まるのは、巨視的な熱伝導がフーリエの法則
q = -k∇T
で表されるからです。温度が急に変化しているほど熱流は大きくなり、熱伝導率が大きい材料ほど同じ温度勾配でも多くの熱を運びます。
フーリエの法則とエネルギー保存則を組み合わせれば、温度が時間とともにどう変化するかを表す熱伝導方程式が得られます。そこでは熱拡散率α = k/(ρc)が、温度変化の広がる速さを決めます。
さらに熱抵抗R = L/(kA)を使えば、複数材料からなる壁、ヒートシンク、断熱材などを電気回路に似た形で計算できます。
熱伝導は「高温側から低温側へ熱が伝わる」という現象だけではありません。温度勾配、熱伝導率、熱抵抗、エネルギー保存を組み合わせることで、どれだけの熱がどこへ流れ、温度分布がどう変化するかを定量的に予測できる現象なのです。
参考資料
- 成形加工「伝熱の基礎」
- 日本機械学会論文集「時間領域差分法による非フーリエ熱伝導方程式と連成された動熱弾性問題の数値解析」
- NIST “Using Finite Element Analysis to Design a New Guarded Hot Plate Apparatus for Measuring the Thermal Conductivity of Insulating Materials”
- U.S. Department of Energy “Thermodynamics, Heat Transfer, and Fluid Flow, Volume 2”
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