人工衛星の説明では、「高度400km」「高度700km」「高度約3万6000km」といった数字がよく使われます。しかし、この高度は単なる住所ではありません。地球の中心からどれくらい離れているか、どのくらいの速度で回るか、一周に何分かかるかと結びついた、軌道力学の一部です。
人工衛星の高度が軌道半径・速度・周期と切り離せないのは、地球の重力の強さが地球中心からの距離で決まり、その重力の中で円軌道を保つために必要な速度と、一周にかかる周期も同じ距離から決まるからです。ミッション側が必要な観測条件や通信条件から軌道を選びますが、いったん円軌道の高さを決めれば、そこで必要な速度と周期は自由には選べません。
人工衛星の「高度」は地表からの距離
人工衛星の高度とは、一般には地球表面から衛星までの高さを指します。
ただし軌道力学で基本になるのは、地表からの高さそのものではなく、地球の中心から衛星までの距離です。これを軌道半径と考えます。
地球の平均半径をR、地表からの高度をh、地球中心からの距離をrとすると、円軌道ではおおよそr = R + hと表せます。
たとえば高度400kmの衛星なら、地球半径約6370kmを加え、地球中心からは約6770kmの場所を回っています。
重力の式や軌道速度の式で使うのは、この地球中心からの距離rです。
なぜ地表ではなく地球中心から測るのか
地球の重力は、地球全体の質量がほぼ中心に集まっているとみなして計算できます。
そのため衛星に働く重力の強さは、地球中心からどれだけ離れているかによって決まります。
高度だけを見ると、同じ「400km」という数字でも地球半径との関係が見えません。
軌道運動では、地球中心と衛星を結ぶ距離を使うことで、重力、速度、周期を一つの式で結びつけられます。
「高度」は人間に分かりやすい表し方であり、力学的には「地球半径を含む軌道半径」が基本です。
高度が上がると重力は弱くなる
地球の重力は、高度が上がるほど弱くなります。
地球中心からの距離rに対して、重力加速度の大きさはおおよそ1/rの2乗に比例して小さくなります。
ただし、高度数百kmの低軌道で重力がほとんどなくなるわけではありません。
国際宇宙ステーションが飛ぶ高度400km付近でも地球の重力は十分に強く、ISSと乗員はその重力によって地球へ落ち続けています。
人工衛星の高さを考えるときは、「宇宙だから重力がない」ではなく、「地球中心から遠ざかるほど重力が少し弱くなる」と考えるのが正確です。
円軌道では高度ごとに必要な速度が一つに決まる
円軌道を回る衛星では、地球の重力が円運動に必要な向心加速度を生み出しています。
地球の重力に関する定数をμ、地球中心からの距離をrとすると、円軌道速度vはおおよそv = √(μ/r)で表せます。
この式から、軌道半径rが大きくなるほど、必要な円軌道速度は小さくなることが分かります。
つまり高度を決めると、その円軌道を維持するための速度も同時に決まります。
同じ高度の円軌道で、ある衛星だけ好きな速度で速く回り、別の衛星だけ遅く回ることはできません。
低い軌道ほど速く、高い軌道ほど遅い
JAXAの解説では、低軌道の人工衛星は秒速7～8km程度で地球を回ります。
一方、高度約3万6000kmの静止軌道では、速度は約3km/sです。
高い軌道ほど重力が弱いため、円運動を維持するための速度も小さくなります。
ただし「高い軌道へ行くには速度を小さくすればよい」という意味ではありません。
低い軌道から高い軌道へ移る途中では、ロケットやスラスタでエネルギーを与えて軌道を広げる必要があります。到着した高い円軌道では、結果として円軌道速度が低くなるという関係です。
高度が決まると一周する周期も決まる
人工衛星が地球を一周する時間を軌道周期と呼びます。
円軌道では、軌道周期TはT = 2π√(r³/μ)で表せます。
これはケプラーの第3法則に対応する関係です。
軌道半径rが大きくなるほど、一周する道のりが長くなるだけでなく、衛星の速度も遅くなるため、周期は大きく伸びます。
そのため低軌道では約90～100分で地球を一周しますが、静止軌道では約24時間かかります。
「高度・速度・周期」は三つの独立した数字ではない
人工衛星の資料では、高度、速度、周期が別々の項目として書かれることがあります。
しかし円軌道では、この三つは独立ではありません。
地球という同じ中心天体を回る限り、軌道半径rが決まれば速度vと周期Tが力学的に決まります。
逆に周期が分かれば、円軌道を仮定して軌道半径を計算でき、地球半径を差し引けば高度を求められます。
「高度700km、周期約100分」という二つの数字は偶然の組み合わせではなく、同じ重力法則から生まれています。
静止軌道の約3万6000kmは周期から導かれる
静止衛星は、地上から見ると空のほぼ同じ場所に止まって見えます。
そのためには、衛星が地球を一周する周期を地球の自転周期と一致させる必要があります。
円軌道の周期を地球の自転周期約23時間56分に設定し、ケプラーの第3法則を使って軌道半径を逆算すると、地球中心から約4万2160kmになります。
そこから地球半径を引くと、地表から約3万5786kmという静止軌道高度が得られます。
ESAも、静止軌道が赤道上空約3万5786kmにあり、地球の自転と同じ周期を持つと説明しています。
この高度は「通信衛星に便利だから適当に選ばれた」のではなく、24時間という必要周期から力学的に導かれる高さです。
GPS衛星の高度も周期と無関係ではない
GPSやGalileoのような測位衛星は、低軌道と静止軌道の中間にある中軌道を利用します。
ESAのGalileo衛星は、高度約2万3222kmの円軌道を使います。
この高度では、低軌道より周期が長く、一機が広い範囲から長時間見えやすくなります。
測位衛星では、地球上の利用者が複数機を同時に見られるよう、衛星数、軌道面、傾斜角、周期をまとめて設計します。
高度は単独で決める値ではなく、衛星群全体の周期と配置を作る要素でもあります。
人工衛星の高度は目的から選び、物理法則で成立させる
ここで重要なのは、「高度が物理法則だけで自動的に選ばれる」わけではないことです。
地球観測なら地表へ近い方が細かな観測に有利です。気象衛星や通信衛星では、同じ地域を長時間見られる静止軌道が有利な場合があります。
JAXAも、人工衛星の軌道高度は使用目的や宇宙環境に応じて決めると説明しています。
つまり設計者が目的に合わせて「この高さの軌道を使いたい」と選び、その高さで成立する速度や周期を軌道力学に従って実現します。
目的が高度を選び、物理法則がその高度での運動条件を決める、という二段階で考えると分かりやすくなります。
低すぎる軌道には大気という下限条件がある
理論上は地表すれすれの円軌道も式では考えられますが、実際の地球には大気があります。
低い高度では大気抵抗が大きく、人工衛星は急速に軌道エネルギーを失います。
JAXAは、人工衛星を長く運用するには空気抵抗を小さくする必要があり、一般的な軌道では十分に大気が薄くなる高度が選ばれると説明しています。
超低高度衛星では、空気抵抗を補うために推進系を使うことがあります。
したがって高度は、重力と速度だけでなく、大気によって「実用的に維持できるか」という条件も受けます。
高くすればよいわけでもない
高い軌道では大気抵抗は小さくなりますが、そこへ衛星を運ぶにはより多くのエネルギーが必要です。
JAXAは、一般に軌道高度が高くなるほどロケットの輸送能力が低下すると説明しています。
また地表から遠くなるため、観測の空間分解能や通信距離にも影響します。
そのため人工衛星は、理論上成立する高度の中から、ミッション、ロケット能力、宇宙環境などを考えて現実的な高度を選びます。
高度には「力学的に可能か」と「ミッションとして有利か」という二つの判断があります。
楕円軌道では「高度」は一つの値では表せない
ここまで主に円軌道を説明しました。
円軌道なら地球中心からの距離がほぼ一定なので、「高度400km」のように一つの値で表しやすくなります。
しかし楕円軌道では、衛星と地球の距離が一周の中で変化します。
地球へ最も近い場所を近地点、最も遠い場所を遠地点と呼び、それぞれ近地点高度と遠地点高度で表します。
この場合、「衛星の高度」は固定値ではなく、軌道上の位置によって連続的に変化します。
楕円軌道では半長軸が周期を決める
楕円軌道の周期を考えるときは、瞬間的な高度ではなく、楕円の大きさを表す半長軸が重要です。
ケプラーの第3法則では、周期の2乗は半長軸の3乗に比例します。
そのため近地点高度だけを見ても周期は決まりません。遠地点と組み合わせて軌道全体の大きさを知る必要があります。
同じ近地点高度でも、遠地点が高い楕円軌道ほど半長軸が大きく、周期も長くなります。
円軌道で「高度が周期を決める」と言えるのは、半長軸と軌道半径が同じになる特殊な場合だからです。
楕円軌道では高度が変わると速度も変わる
楕円軌道では、衛星は近地点で速く、遠地点で遅くなります。
地球に近づくと重力による位置エネルギーが運動エネルギーへ変わり、遠ざかると運動エネルギーの一部が位置エネルギーへ変わるためです。
したがって楕円軌道では「この高度なら速度は必ずこの値」と、瞬間高度だけから円軌道と同じように判断することはできません。
その衛星がどの大きさ・形の楕円軌道にいるかを合わせて考える必要があります。
この速度と軌道エネルギーの詳しい関係はW01413で扱う範囲です。
高度は軌道傾斜角とは別の軌道要素
同じ高度でも、衛星が同じ場所を通るとは限りません。
軌道面が赤道面からどれくらい傾いているかを軌道傾斜角と呼びます。
同じ高度700kmでも、赤道付近を回る衛星と、極域近くまで通る衛星では地上軌跡が大きく違います。
JAXAは、地球観測衛星の周期や回帰日数が高度と傾斜角によって異なると説明しています。
つまり高度は重要な軌道要素ですが、それだけで人工衛星の軌道全体を表せるわけではありません。
太陽同期軌道では高度と傾斜角を組み合わせる
多くの地球観測衛星は、同じ地域をほぼ同じ地方太陽時に観測できる太陽同期軌道を使います。
この軌道では、地球が完全な球ではないことによって生じる軌道面のゆっくりした回転を利用します。
必要な歳差速度を得るには、高度と軌道傾斜角の組み合わせが重要です。
そのため「観測したい時刻」という要求から、適切な高度と傾斜角の組み合わせを設計します。
高度は単に地表からの距離ではなく、衛星の軌道面が時間とともにどう変わるかにも関係します。
軌道高度は打ち上げ後も完全には一定ではない
実際の人工衛星では、高度は小さく変化することがあります。
低軌道では大気抵抗で高度が少しずつ下がります。
地球の重力場の偏り、月や太陽の重力、太陽光圧なども軌道をわずかに変化させます。
必要な軌道を保つ衛星では、地上から軌道を監視し、必要に応じてスラスタで軌道修正します。
「高度700kmの衛星」という表現は便利ですが、実際には軌道要素が時間とともに少し変化し、その範囲を管理しながら運用されています。
高度を測るには衛星の軌道を決定する必要がある
人工衛星が実際にどの高度を飛んでいるかは、衛星の位置と速度を観測して軌道を推定することで求めます。
地上局からの距離・角度・電波のドップラー変化、GNSS受信機などのデータを使い、衛星の軌道要素を計算します。
その軌道から各時刻の地球中心距離を求め、地球表面との関係から高度を表します。
したがって高度は、衛星に取り付けた単純な「高度計」だけで常に決めるものではなく、軌道決定の結果として扱われる量でもあります。
W01402とは何が違うのか
W01402は、人工衛星の高度を変えると、観測範囲、地上分解能、軌道周期、大気抵抗、寿命などがどう変わるかを扱いました。
この記事W01412では、高度という量そのものが、地球中心からの軌道半径、円軌道速度、軌道周期とどのような物理関係で結ばれているのかを主題にしています。
つまりW01402が「高度を変えると何が起こるか」なのに対し、W01412は「高度は軌道力学の中でどのように表され、他の軌道量とどう結びつくか」という仕組み・構造です。
W01411・W01413・W01414とは何が違うのか
W01411は、重力と横向き運動によって人工衛星の軌道そのものがなぜ成立するのかを扱います。
W01413は、円軌道速度や楕円軌道での速度変化、軌道エネルギーなど「速度」の仕組みを中心に扱います。
W01414は、送信機、アンテナ、地上局、周波数など「通信」の仕組みを扱います。
W01412は、地表からの高度を地球中心距離へ置き換え、その距離から速度・周期が決まる構造に限定しています。
人工衛星の高度を見るときは5つを確認する
人工衛星の高度を仕組みから理解するときは、次の五つを確認すると整理しやすくなります。
第一は地表高度か地球中心距離かです。軌道力学では地球中心距離が基本です。
第二は円軌道か楕円軌道かです。円軌道なら高度はほぼ一定、楕円軌道なら近地点と遠地点で変わります。
第三は軌道速度です。円軌道では高度が上がるほど必要速度は小さくなります。
第四は軌道周期です。軌道半径が大きいほど一周時間は長くなります。
第五はミッション条件です。物理的に可能な高度の中から、観測、通信、放射線、大気抵抗、ロケット能力などを考えて実用高度を選びます。
この五つを押さえると、「高度○km」が単独の数字ではなく、軌道全体を構成する一つの量だと分かります。
まとめ
人工衛星の高度が軌道半径・速度・周期と一体で決まるのは、地球の重力が地球中心からの距離で決まり、その重力の中で円軌道を維持するための速度と周期も同じ距離から決まるからです。
地表からの高度hに地球半径Rを加えると、軌道力学で使う地球中心距離rになります。円軌道では速度はv = √(μ/r)、周期はT = 2π√(r³/μ)で表されます。
このため高い円軌道ほど速度は遅く、周期は長くなります。静止軌道の高度約3万5786kmも、地球の自転と同じ周期が必要という条件から導かれます。
ただし高度は物理法則だけが勝手に決めるのではありません。実際にはミッション目的から使いたい軌道を選び、その高度で成立する速度・周期を物理法則に従って実現します。
また楕円軌道では高度は一周の中で変わり、周期は軌道全体の大きさを表す半長軸で決まります。つまり人工衛星の高度とは、単なる地表からの距離ではなく、重力・速度・周期・軌道形状を結びつける軌道力学の基本量なのです。
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